Построение является очевидным за исключением построения 10-ти и 5-ти угольников. Кто не согласен - в комменты.
10-ти: Непонятно, как построить угол 36 градусов (144).
Построение: найдём sin 18.
тр. АВС - равнобед 36-72-72 (угол АВС=36). Проедём бис. CD. BD=CD=AC=a, AB=BC=b. ABC подобен ACD по 2 У. Тогда DA/AC=AC/BC. (b-a)/a=a/b. a2+ab-b2=0. (a/b)2+(a/b)-1=0. (a/b)>0, след. (a/b)=(1+√5)/2.
BE - биссектриса -> (a/2)/b=sin 18=(√5+1)/4.
(√5+1)/4 строится очевидно -> строится угол 18 -> строится 36, 72, 144...
5-ти аналогично.
§ 3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей
49. Радикальная ось двух окружностей
Из теоремы о квадрате касательной следует, что если точка М лежит вне окружности и через нее проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение МА • MB не зависит от положения секущей — это произведение равно квадрату касательной. С другой стороны, квадрат касательной равен ОМ2 - R2, где О — центр окружности, R — ее радиус (рис. 174). Итак,
МА*МВ = ОМ2 - R2. (1)
Рассмотрим теперь точку М, лежащую внутри окружности. Проведем через нее какую-нибудь хорду АВ. Из теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд следует, что произведение МА*МВ не зависит от положения хорды — оно равно произведению отрезков диаметра, т. е. равно (R + OM)(R - ОМ) = R2 - ОМ2 (рис. 175). Итак, в этом случае
МА*МВ = R2 - ОМ2. (2)
Выражения (1) и (2) похожи друг на друга. Можно придать им еще большее сходство, если договориться понимать
под произведением МА • MB произведение длин отрезков МА и MB, взятое со знаком «плюс», если точки А и В лежат по
Рис.174
Рис.175
одну сторону от точки М, и со знаком «минус», если по разные стороны от точки М (при этом, конечно, предполагается, что точки А, В и М лежат на одной прямой). Тогда формулы (1) и (2) можно объединить в одну:
МА • MB = ОМ2 - R2.
Отметим, что эта формула справедлива и в том случае, когда точка М лежит на окружности и, следовательно, совпадает с одной из точек А и В. В этом случае обе части равенства равны нулю.
Величина а = MA • MB = ОМ2 - R2 называется степенью точки М относительно данной окружности.
Замечание. Как мы вскоре увидим, иногда бывает удобно рассматривать точку как окружность нулевого радиуса. Степенью точки М относительно такой «вырожденной» окружности естественно назвать величину а = ОМ2, где О — центр « окружности ».
Рассмотрим теперь две окружности. Множество всех точек, для каждой из которых степени относительно этих окружностей равны, называется радикальной осью данных окружностей. Что представляет собой это множество?
Если данные окружности — концентрические, то это множество не содержит ни одной точки (объясните почему). В дальнейшем, говоря о радикальной оси двух окружностей, мы будем предполагать, что эти окружности не являются концентрическими. Прежде чем доказать теорему о радикальной оси таких окружностей, решим вспомогательную задачу.
Задача 1. Доказать, что на прямой АВ существует единственная точка М, такая, что AM2 - ВМ2 = k2, где k — данное число.
Решение. Из условия задачи следует, что AM2 >= ВМ2, т. е. AM >= ВМ. Поэтому искомая точка М, если она существует, лежит на луче АВ, так как для любой точки М, лежащей на продолжении этого луча, AM < ВМ. Допустим, что на луче АВ имеется точка М, удовлетворяющая условию задачи. Тогда либо AM + MB = АВ, либо AM - MB = АВ. В любом из этих случаев MB2 = (АВ - AM)2. Следовательно,
k2 = AM2 - ВМ2 = AM2 - (АВ - AM)2 = 2АВ *AM - АВ2,
откуда
(3)Итак, если на луче АВ существует точка М, удовлетворяющая условию задачи, то она находится на вполне определенном расстоянии от точки А, т. е. такая точка М — единственная. Докажем теперь, что искомая точка М существует. Возьмем точку М на луче АВ, для которой выполнено условие (3), и проверим, что она удовлетворяет условию задачи. В самом деле,
АМ2 - ВМ2 = AM2 - (АВ - AM)2 = 2AB*AM - АВ2 = k2.
Теорема. Радикальная ось двух неконцентрических окружностей есть прямая, перпендикулярная к линии центров этих окружностей.
Доказательство. Пусть О1 и О2 — центры данных окружностей, r1, и r2 — их радиусы. Для определенности предположим, что r1 > r2. По определению радикальная ось есть множество всех точек М, для каждой из которых О1М2 - r12 = О2М2 - r22, или О1M2 - О2М2 = r22 - г12.
Согласно задаче 1 на прямой О1О2 существует одна и только одна точка Н, принадлежащая радикальной оси данных окружностей, т. е. для точки Н выполнено равенство
О1Н2 - О2Н2 = r22 - r12.
Докажем, что прямая l, проходящая через точку Н и перпендикулярная к O1O2, есть радикальная ось данных окружностей (рис. 176).
В самом деле, для каждой точки М прямой l, отличной от точки h, по теореме Пифагора имеем:
О1М2 - MH2 = О1Н2, О2М2 - МН2 = О2H2. Отсюда получаем:
О1М2 - О2М2 = О1Н2 - О2Н2 = r12 - г22,
т. е. точка М принадлежит радикальной оси данных окружностей.
Обратно, пусть М — точка плоскости, принадлежащая радикальной оси и не лежащая на прямой O1O2, а МН1 — перпендикуляр к прямой О1О2. Тогда
О1М2 = О1Н12 + МН12, О2М2 = О2Н12 + МН12, поэтому
r12 - r22 = О1М2 - О2М2 = O1H12 - О2Н12,
т. е. О1Н12 - О2H12 = r12 - r22,. Согласно задаче 1 точки Н и H1 совпадают, и, следовательно, М — точка прямой l. Теорема доказана.
50. Расположение радикальной оси относительно окружностей
Напомним, что степень точки, лежащей вне окружности, равна квадрату касательной, проведенной к окружности из
Рис.177
Рис.178
данной точки. Поэтому для каждой точки радикальной оси двух окружностей, лежащей вне этих окружностей, касательные, проведенные из этой точки к окружностям, равны (рис. 177). Этот факт позволяет легко построить радикальную ось двух данных окружностей почти при любом их взаимном расположении.
В самом деле, если окружности лежат одна вне другой, то для построения радикальной оси достаточно провести две их общие касательные, тогда радикальная ось будет прямой, проходящей через середины этих касательных (рис. 178).
Далее, если данные окружности касаются друг друга извне или изнутри, то их радикальной осью является общая касательная, проходящая через точку касания окружностей (рис. 179). В самом деле, степень точки касания окружностей относительно каждой из них равна нулю, поэтому точка касания лежит на радикальной оси. Согласно теореме п. 49 радикальная ось представляет собой прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к линии центров. А это и есть указанная общая касательная.
Рассмотрим теперь две пересекающиеся окружности. Поскольку степень каждой из точек пересечения относительно обеих окружностей равна нулю, то эти точки принадлежат радикальной оси. Следовательно, радикальная ось представляет собой прямую, проходящую через точки пересечения окружностей (рис. 180).
Рис.179
Рис.180
Рис.181
Рис.182
Осталось рассмотреть две окружности, одна из которых лежит внутри другой. В этом случае построить радикальную ось труднее. Мы это сделаем в следующем пункте. Здесь же отметим лишь, что радикальная ось проходит вне окружностей (рис. 181). В самом деле, в рассматриваемом случае О1О2 < < r1 - r2, или г2 < r1 - О1О2 Используя это неравенство и формулу (3) п. 49, для точки М пересечения радикальной оси и линии центров получаем:
т. е. О1М > r1 Следовательно, точка пересечения радикальной оси и линии центров лежит вне окружностей, а значит, и радикальная ось проходит вне окружностей.
Расположение радикальной оси в случае, когда радиус одной из окружностей равен нулю, показано на рисунке 182.
Сформулируем два следствия из наших рассуждений.
Следствие 1. Прямая, проходящая через середины двух внутренних касательных данных окружностей, проходит через середины их внешних касательных (рис. 183). Это следует из того, что указанная прямая является радикальной осью данных окружностей.
Следствие 2. Если две окружности касаются друг друга извне, то их общая внутренняя касательная делит пополам обе общие внешние касательные (рис. 184).
Рис.183
Рис.184
Рис.185
51. Радикальный центр трех окружностей
Рассмотрим три окружности и проведем радикальные оси каждых двух из них. Если центры окружностей лежат на одной прямой, то три проведенные радикальные оси либо параллельны друг другу, либо две из них, или все три совпадают, поскольку каждая из них перпендикулярна к общей линии центров. Если же центры окружностей не лежат на одной прямой, то, как мы сейчас увидим, три радикальные оси пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром трех окружностей (рис. 185). Итак, мы хотим доказать утверждение:
Теорема. Радикальные оси трех окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Проведем сначала две радикальные оси — первой и второй окружностей и также второй и третьей. Поскольку центры трех данных окружностей не лежат на одной прямой, то проведенные радикальные оси пересекаются в некоторой точке М. Степени точки М относительно первой и второй окружностей равны, так как она лежит на радикальной оси этих окружностей. По аналогичной причине ее степени относительно второй и третьей окружностей также равны. Следовательно, ее степени относительно первой и третьей окружностей равны. Но это означает, что точка М лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей, а значит, все три радикальные оси пересекаются в точке М. Теорема доказана.
Из этой теоремы можно вывести большое число следствий, каждое из которых было бы весьма сложной теоремой, если бы мы не знали свойств радикальных осей. Несколько таких следствий проиллюстрировано рисунками 186, 187. Воспользуемся одним из них для решения задачи, упомянутой в предыдущем пункте.
Рис.186
Рис.187
Рис.188
Рис. 189
Задача 2. Построить радикальную ось двух окружностей, одна из которых лежит внутри другой.
Решение. Проведем сначала какую-нибудь третью окружность так, чтобы она пересекла каждую из данных окружностей, а ее центр не лежал бы на линии центров данных окружностей (рис. 188). Затем проведем те две радикальные оси, которые проходят через точки пересечения окружностей. Тогда точка М их пересечения — радикальный центр трех окружностей, а значит, искомая радикальная ось проходит через точку М. Тем самым осталось провести через эту точку прямую, перпендикулярную к линии центров данных окружностей, — это и есть искомая радикальная ось. Задача решена.
Решение. Проведём высоту CE. Она равна a(очевидно). ED=CE(45-45-90)=a. AE=b(90-90-90-90). CD=√2*a (45-45-90). P=a+b+√2*a+a+b=2. b=1-(1+√/2)a. S=(b+d)/2*h=(b+a+b)/2*a= (2-2a-√2a+a)/2*a=-(1+√2)/2*a+a. Её max при a=1/(1+√2) (парабола развёрнута, x координата вершины. Высота равна 1/(1+√2) при Smax.
